Equations

Las dos expresiones que forman la ecuación se llaman miembros:

• Primer miembro: expresión del lado izquierdo.
• Segundo miembro: expresión del lado derecho.

Ejemplo:

$$3x+5=11$$

Operaciones que conservan la igualdad

Si $A=B$, entonces las siguientes operaciones no alteran la igualdad:

1. Suma o resta

$$A=B \quad \Rightarrow \quad A+c=B+c$$

2. Multiplicación

$$A=B \quad \Rightarrow \quad Ac=Bc$$

3. División ($c\neq0$)

$$A=B \quad \Rightarrow \quad \frac{A}{c}=\frac{B}{c}$$

4. Potenciación o radicación

$$A=B \quad \Rightarrow \quad A^n=B^n$$

Estas últimas operaciones pueden introducir soluciones extrañas, por lo que las soluciones obtenidas deben verificarse en la ecuación original.

Ecuaciones lineales

Su solución es

$$x=-\frac{b}{a}$$

Ecuaciones cuadráticas

Fórmula general

Las soluciones se obtienen mediante

$$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \qquad x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Discriminante

Se define el discriminante como

$$\Delta=b^2-4ac$$

El valor de $\Delta$ determina la naturaleza de las raíces:

• $\Delta>0$ → dos raíces reales distintas
• $\Delta=0$ → una raíz real doble
• $\Delta<0$ → dos raíces complejas conjugadas

Relaciones entre las raíces

Si $x_1,x_2$ son las raíces de

$$ax^2+bx+c=0$$

entonces

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$

$$x_1x_2=\frac{c}{a}$$

Estas relaciones se conocen como relaciones de Viète.

Relaciones de Vieta

Las relaciones de Vieta conectan las raíces de un polinomio con sus coeficientes.

Caso cuadrático

Sea

$$x^2 + px + q = 0$$

con raíces $r_1, r_2$. Entonces

$$r_1 + r_2 = -p$$

$$r_1 r_2 = q$$

Caso cúbico

Sea

$$x^3 + px^2 + qx + r = 0$$

con raíces $r_1, r_2, r_3$. Entonces

$$r_1 + r_2 + r_3 = -p$$

$$r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3 = q$$

$$r_1 r_2 r_3 = -r$$

Caso general

Sea el polinomio mónico

$$x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + \cdots + a_n = 0$$

con raíces $r_1,r_2,\ldots,r_n$. Entonces

$$r_1+r_2+\cdots+r_n = -a_1$$

$$\sum_{i<j} r_ir_j = a_2$$

$$\sum_{i<j<k} r_ir_jr_k = -a_3$$

$$\cdots$$

$$r_1r_2\cdots r_n = (-1)^n a_n$$

Ecuaciones cúbicas y de grado superior

Las ecuaciones de grado mayor o igual que tres pueden resolverse mediante métodos algebraicos generales:

• Método de Cardano para ecuaciones cúbicas.
• Método de Ferrari para ecuaciones de cuarto grado.

En la práctica, muchas ecuaciones se resuelven mediante factorización, utilizando técnicas como:

• regla de Ruffini
• identidades algebraicas
• factorización por agrupación

Ecuaciones con radicales

Para resolverlas se eliminan los radicales elevando ambos miembros a una potencia adecuada.

Las soluciones obtenidas deben comprobarse, ya que el proceso puede introducir soluciones extrañas.