Factorization of Polynomials

Aspa Simple

(•‿•)

Reconocimiento:

El aspa simple es un método para factorizar trinomios de la forma:

$ax^2 + bx + c$ (con $a \neq 1$ )
$ax^{2n} + bx^n + c$ (forma cuadrática en $x^n$ )
O expresiones que pueden transformarse en estas formas

Procedimiento:

Escribir el trinomio en forma estándar

Asegurarse de que el trinomio esté ordenado de mayor a menor exponente

Descomponer los términos extremos

Descomponer $ax^2$ en dos factores lineales: $a_1x \times a_2x$
Descomponer $c$ en dos factores: $c_1 \times c_2$

Organizar en forma de aspa (X)

Colocar los factores en cruz:

a₁x       c₁
    \     /
     \   /
      \ /
       ×
      / \
     /   \
    /     \
a₂x       c₂

Verificar el término central

Calcular:

Producto en diagonal 1: $a_1x \times c_2 = a_1c_2x$
Producto en diagonal 2: $a_2x \times c_1 = a_2c_1x$
Sumar: $(a_1c_2 + a_2c_1)x$

Este resultado debe ser igual a $bx$

Escribir la factorización

Si la verificación es correcta, escribir los factores por filas:

(a_1x + c_1)(a_2x + c_2)

Considerando los signos apropiadamente

Verificar

Multiplicar los binomios para confirmar que se obtiene el trinomio original

(＾▽＾)

Ejemplo 1: Trinomio cuadrático simple

Factorizar: $6x^2 + 7x - 3$

Paso 1: Ya está ordenado.

Paso 2: Descomponer extremos:

$6x^2$ : probamos $(3x)(2x)$
$-3$ : probamos $(3)(-1)$

Paso 3: Organizar en aspa y verificar:

   3x       -1
      \     /
       \   /
        \ /
         ×
        / \
       /   \
      /     \
    2x       3

Cálculo: $(3x)(3) + (2x)(-1) = 9x - 2x = 7x$ ✓

Paso 4: Factorización: $(3x - 1)(2x + 3)$

(＾▽＾)

Ejemplo 2: Con coeficiente negativo

Factorizar: $-4x^2 + 12x - 5$

Paso 1: Factorizar -1: $-(4x^2 - 12x + 5)$

Paso 2: Probar combinaciones:

    2x       -1
       \     /
        \   /
         \ /
          ×
         / \
        /   \
       /     \
     2x       -5

Cálculo: $(2x)(-5) + (2x)(-1) = -10x - 2x = -12x$ ✓

Paso 3: Factorización: $-(2x - 1)(2x - 5)$

(＾▽＾)

Ejemplo 3: Trinomio en

x^4

Factorizar: $x^4 - 13x^2 + 36$

Paso 1: Hacer $y = x^2$ : $y^2 - 13y + 36$

Paso 2: Aplicar aspa simple:

Cálculo: $y(-9) + y(-4) = -9y - 4y = -13y$ ✓

Paso 3: $(y - 4)(y - 9) = (x^2 - 4)(x^2 - 9)$

Resultado: $(x + 2)(x - 2)(x + 3)(x - 3)$

(＾▽＾)

Ejemplo 4: Con dos variables

Factorizar: $6x^2 - 7xy - 3y^2$

Paso 1: Descomponer extremos:

$6x^2$ : $(3x)(2x)$
$-3y^2$ : $(3y)(-y)$ o $(-3y)(y)$

Paso 2: Probar combinaciones:

    3x       -y
       \     /
        \   /
         \ /
          ×
         / \
        /   \
       /     \
     2x       3y

Cálculo: $(3x)(3y) + (2x)(-y) = 9xy - 2xy = 7xy$ ✗ (necesitamos -7xy)

Paso 3: Probar otra:

    3x       -3y
       \     /
        \   /
         \ /
          ×
         / \
        /   \
       /     \
     2x       y

Cálculo: $(3x)(y) + (2x)(-3y) = 3xy - 6xy = -3xy$ ✗

Paso 4: Probar otra:

    3x       y
       \     /
        \   /
         \ /
          ×
         / \
        /   \
       /     \
     2x       -3y

Cálculo: $(3x)(-3y) + (2x)(y) = -9xy + 2xy = -7xy$ ✓

Paso 5: Factorización: $(3x + y)(2x - 3y)$

Tabla de Signos para Aspa Simple

Caso del trinomio	Factores de $c$	Suma $a_1c_2 + a_2c_1$
$ax^2 + bx + c$	Ambos positivos	Positiva
$ax^2 - bx + c$	Ambos negativos	Negativa
$ax^2 + bx - c$	Uno positivo, uno negativo	Valor del signo del mayor
$ax^2 - bx - c$	Uno positivo, uno negativo	Valor del signo del mayor

( •̀ .̫ •́ )✧

Consejos prácticos

Para $a=1$ : Buscar directamente dos números que multipliquen a $c$ y sumen $b$
Prueba sistemática: Probar factores en orden creciente
Verificación rápida: $(a_1c_2)(a_2c_1) = ac$
Signos primero: Determinar los signos de $c_1$ y $c_2$ antes de probar valores

undefined

Cuando falla el método

Si ninguna combinación cumple las condiciones:

El trinomio puede ser primo (irreducible)
Usar fórmula general: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
O completar el cuadrado

(＾‿＾)

Variaciones del método

Aspa simple con $a=1$ : $(x + m)(x + n)$ donde $mn = c$ y $m+n = b$
Aspa simple con coeficiente fraccionario: Multiplicar por MCD primero
Aspa simple con exponentes mayores: Hacer cambio de variable