Determinants

abajo de la tercera (o repetir las dos primeras columnas a la derecha, según la versión).
Aquí mostraré la versión común de repetir las dos primeras columnas:

$$\begin{array}{cccccc} a & b & c & a & b \\ d & e & f & d & e \\ g & h & i & g & h \\ \end{array}$$

(de izquierda a derecha, 3 diagonales empezando en la primera columna):

• $a \cdot e \cdot i$
• $b \cdot f \cdot g$
• $c \cdot d \cdot h$

(de derecha a izquierda, 3 diagonales empezando en la última columna):

• $c \cdot e \cdot g$
• $a \cdot f \cdot h$
• $b \cdot d \cdot i$

Usando operaciones elementales de fila:

• Permutar dos filas → Cambia el signo del determinante:

  $$|A'| = -|A|$$

• Multiplicar una fila por un escalar $k$ → El determinante se multiplica por $k$:

  $$|A'| = k \cdot |A|$$

• Sumar un múltiplo de una fila a otra fila → No cambia el determinante.

$$A \rightarrow U = \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & \dots & u_{1n} \\ 0 & u_{22} & \dots & u_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & u_{nn} \end{pmatrix}$$

El determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal:

$$\det(A) = (\text{producto de factores por escalares aplicados}) \times (-1)^{\text{nº de permutaciones}} \times (u_{11} \cdot u_{22} \cdots u_{nn})$$

$$\boxed{\det(A) = \left( \prod_{i} k_i \right) \cdot (-1)^p \cdot \prod_{j=1}^n u_{jj}}$$

donde:

• $k_i$ = factores por multiplicación de filas
• $p$ = número de intercambios de filas
• $u_{jj}$ = elementos diagonales de la matriz triangular

Fórmula:

$$|A| = a \cdot C_{11} + b \cdot C_{12} + c \cdot C_{13}$$

donde:

• $C_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = (+1) \cdot \begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix}$
• $C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = (-1) \cdot \begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix}$
• $C_{13} = (-1)^{1+3} M_{13} = (+1) \cdot \begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix}$

1. $M_{11} = \begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} = ei - fh$
2. $M_{12} = \begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} = di - fg$
3. $M_{13} = \begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix} = dh - eg$

$$\begin{aligned} |A| &= a(ei - fh) + b(-1)(di - fg) + c(dh - eg) \\ &= a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) \end{aligned}$$

$$\boxed{|A| = aei - afh - bdi + bfg + cdh - ceg}$$

El cofactor $C_{ij}$ del elemento $a_{ij}$ es:

$$C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$$

donde $M_{ij}$ es el menor (determinante de la submatriz obtenida eliminando la fila $i$ y columna $j$).

La matriz de cofactores es:

$$\text{cof}(A) = \begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{pmatrix}$$

donde cada elemento se calcula como:

$$\begin{aligned} C_{11} &= (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} = +(ei - fh) \\ C_{12} &= (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} = -(di - fg) = fg - di \\ C_{13} &= (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix} = +(dh - eg) \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} C_{21} &= (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} b & c \\ h & i \end{vmatrix} = -(bi - ch) = ch - bi \\ C_{22} &= (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} a & c \\ g & i \end{vmatrix} = +(ai - cg) \\ C_{23} &= (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} a & b \\ g & h \end{vmatrix} = -(ah - bg) = bg - ah \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} C_{31} &= (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} b & c \\ e & f \end{vmatrix} = +(bf - ce) \\ C_{32} &= (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} a & c \\ d & f \end{vmatrix} = -(af - cd) = cd - af \\ C_{33} &= (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix} = +(ae - bd) \end{aligned}$$

Método 1: Usando la fila 1

$$|A| = a \cdot C_{11} + b \cdot C_{12} + c \cdot C_{13}$$

Método 2: Usando la columna 1

$$|A| = a \cdot C_{11} + d \cdot C_{21} + g \cdot C_{31}$$

Elegir cualquier elemento $a_{ij} \neq 0$ como pivote. Idealmente:

• Elegir $a_{ij} = 1$ si existe
• Elegir fila/columna con más ceros
• Preferir elementos pequeños para simplificar cálculos

Objetivo: Convertir todos los elementos de la columna (excepto el pivote) en ceros.

Si el pivote está en la columna $j$:

1. Si $a_{ij} \neq 1$, dividir toda la fila $i$ entre $a_{ij}$
2. Para cada fila $k \neq i$:
   $F_k \leftarrow F_k - a_{kj}F_i$

Después de las operaciones, la columna del pivote tiene la forma:

• Pivote en posición $(i,j)$: valor 1
• Todas las demás posiciones: valor 0

El determinante se reduce a:

$$|A| = (-1)^{i+j} \cdot |M_{ij}|$$

donde $M_{ij}$ es el menor (submatriz eliminando fila $i$ y columna $j$).

Si se realizaron operaciones que modifican el determinante:

$$|A|_{\text{original}} = \frac{(-1)^p}{k_1 k_2 \cdots k_r} \cdot |A|_{\text{reducido}}$$

donde:

• $p$ = número de intercambios de filas
• $k_i$ = factores por multiplicación de filas

Observamos que la columna 3 tiene tres ceros:

$$\text{Columna 3} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$$

Esto simplificará enormemente el cálculo, ya que solo un término del desarrollo será no nulo.

La fórmula para desarrollar por una columna $j$ es:

$$|A| = \sum_{i=1}^{4} (-1)^{i+j} a_{ij} \cdot |M_{ij}|$$

Para $j = 3$:

$$|A| = \sum_{i=1}^{4} (-1)^{i+3} a_{i3} \cdot |M_{i3}|$$

Calculamos cada término:

1. Para $i=1$:

   $$(-1)^{1+3} \cdot a_{13} \cdot |M_{13}| = (+1) \cdot 0 \cdot |M_{13}| = 0$$

2. Para $i=2$:

   $$(-1)^{2+3} \cdot a_{23} \cdot |M_{23}| = (-1) \cdot 0 \cdot |M_{23}| = 0$$

3. Para $i=3$:

   $$(-1)^{3+3} \cdot a_{33} \cdot |M_{33}| = (+1) \cdot 0 \cdot |M_{33}| = 0$$

4. Para $i=4$:

   $$(-1)^{4+3} \cdot a_{43} \cdot |M_{43}| = (-1) \cdot (-2) \cdot |M_{43}| = 2 \cdot |M_{43}|$$

Resultado intermedio:

$$|A| = 2 \cdot |M_{43}|$$

El menor $M_{43}$ se obtiene eliminando la fila 4 y columna 3:

$$M_{43} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 4 \\ 2 & 3 & 0 \end{pmatrix}$$

Ahora debemos calcular $\det(M_{43})$.

Observamos la columna 1 de $M_{43}$:

$$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$$

Desarrollo por columna 1:

$$|M_{43}| = \sum_{i=1}^{3} (-1)^{i+1} a_{i1} \cdot |M_{i1}^{(2)}|$$

Donde $M_{i1}^{(2)}$ son menores 2×2:

1. Para $i=1$:

   $$(-1)^{1+1} \cdot 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot [(-1)(0) - (4)(3)] = 1 \cdot (0 - 12) = -12$$

2. Para $i=2$:

   $$(-1)^{2+1} \cdot 0 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = (-1) \cdot 0 \cdot (0 \cdot 0 - 3 \cdot 3) = 0$$

3. Para $i=3$:

   $$(-1)^{3+1} \cdot 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 \cdot [(0)(4) - (3)(-1)] = 2 \cdot (0 + 3) = 6$$

Suma:

$$|M_{43}| = -12 + 0 + 6 = -6$$

$$|A| = 2 \cdot |M_{43}| = 2 \cdot (-6) = -12$$