Matrices

Description

Definicion:

Una matriz es un arreglo rectangular de números ordenados en filas y columnas encerrados entre dos corchetes. Matemáticamente:

A_{m \times n} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}

Donde:

$A$ : nombre de la matriz.
$m \times n$ : tamaño de la matriz.
$m$ : filas.
$n$ : columnas.
$a_{ij}$ : elemento genérico de la matriz y significa que está ubicado en la fila $i$ y la columna $j$ .

Propiedades de las Matrices

1. Propiedades de la Suma

\boxed{A_{m \times n} + A_{m \times n} = A_{m \times n}}

Conmutativa: $A + B = B + A$
Asociativa: $A + (B + C) = (A + B) + C$

Propiedades de la Matriz Cero ( $\theta$ )

$A + \theta = \theta + A = A$
$\theta - A = -A$
$A + (-A) = A - A = \theta$
$A\theta = \theta$ ; $\theta A = \theta$

Donde:

$\theta =$ matriz cero (nulo).
$-A =$ inverso aditivo de $A$ .

2. Propiedades del Producto

\boxed{A_{m \times n} \times B_{p \times q} = C_{m \times q}}

Condición: $n = p$ (número de columnas de $A$ = filas de $B$ ).

Distributiva por la izquierda: $A(B + C) = AB + AC$
Distributiva por la derecha: $(A + B)C = AC + BC$
Asociativa: $A(BC) = (AB)C$
$AI = A$ ; $I =$ matriz identidad.
El producto no es conmutativo: $AB \neq BA$
Producto por escalar ( $k$ ): $k \cdot A_{m \times n} = [k \cdot a_{ij}]$

Ejemplo:

k \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ka & kb \\ kc & kd \end{bmatrix}

$k(A + B) = kA + kB$
$k_1(k_2A) = (k_1k_2)A$

Cuidado:

$(A + B)^2 \neq A^2 + 2AB + B^2$ (porque $AB \neq BA$ ).
No cumple la propiedad cancelativa: $AB = AC$ no implica $B = C$ .

3. Propiedades de la Potencia

Potencia cero:
$A^0 = I$
Donde $I$ es la matriz identidad.
Potencia positiva ( $n > 0$ ):
$A^n = \underbrace{AAA \cdots A}_{n \text{ factores}}$
Producto de potencias con la misma base:
$A^r A^s = A^{r+s}$
Potencia de una potencia:
$(A^r)^s = A^{rs}$

4. Matriz Polinomial

Dado un polinomio:

P(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n

Si $A$ es una matriz, se define la evaluación matricial del polinomio como:

P(A) = a_0I + a_1A + a_2A^2 + \cdots + a_nA^n

Donde:

$I$ es la matriz identidad del mismo tamaño que $A$ .
Los términos $A^k$ son potencias matriciales.

Tipos de Matrices

1. Matriz Cuadrada

Una matriz es cuadrada cuando el número de filas es igual al número de columnas.
Notación:

A_{n \times n} = A_n = [a_{ij}] \in \mathbb{R}^n

donde:

1 \leq i \leq n \quad \text{y} \quad 1 \leq j \leq n

Ejemplos

A = \begin{bmatrix} a_{11} \end{bmatrix}

B = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}

C = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}

D = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{bmatrix}

E = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25} \\a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{35} \\a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} & a_{45} \\a_{51} & a_{52} & a_{53} & a_{54} & a_{55}\end{bmatrix}

2. Matriz Nula ( $\theta$ )

Matriz donde todos sus elementos son cero:

A_{m \times n} = \theta = [a_{ij} = 0] = \begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix}

Ejemplos

A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}_{2 \times 3}

B = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}_{4 \times 4}

C = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}_{1 \times 3}

D = \begin{bmatrix} 0 \\0 \\0 \\0 \end{bmatrix}_{4 \times 1}

E = \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}_{1 \times 1}

3. Matriz Identidad ( $I_n$ )

Matriz cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en el resto:

I_{n \times n} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Definición formal:

I_{n \times n} = \begin{cases} a_{ij} = 1 & \text{si } i = j \\ a_{ij} = 0 & \text{si } i \neq j \end{cases}

Ejemplos

I_1 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}\quad I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\quad I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

I_4 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

I_5 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

4. Matriz Fila

Matriz con una única fila:

A_{1 \times n} = [a_{1j}] \in \mathbb{R}^{1 \times n}

Ejemplo explícito:

A_{1 \times n} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \end{bmatrix}

Ejemplos

A = \begin{bmatrix} 5 \end{bmatrix}

B = \begin{bmatrix} -2 & 7 \end{bmatrix}

C = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

D = \begin{bmatrix} 1 & -3 & 4 & 9 \end{bmatrix}

E = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\sqrt{2} & \pi & 0 & 10 \end{bmatrix}

5. Matriz Columna

Matriz con una única columna:

A_{m \times 1} = [a_{i1}] \in \mathbb{R}^{m \times 1}

Forma general:

A_{m \times 1} = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{bmatrix}

Ejemplos

A = \begin{bmatrix} 3 \end{bmatrix}

B = \begin{bmatrix} -1 \\ 4 \end{bmatrix}

C = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}

D = \begin{bmatrix} 2 \\ -5 \\ 7 \\ 1 \end{bmatrix}

E = \begin{bmatrix} \sqrt{3} \\ \frac{2}{3} \\ -\pi \\ 0 \\ 8 \end{bmatrix}

6. Matriz Transpuesta ( $A^t$ )

Dada una matriz $A_{m \times n}$ , su transpuesta $A^t$ es de tamaño $n \times m$ , donde se intercambian filas por columnas:

Definición:

A = [a_{ij}] \implies A^t = [a_{ji}]

Ejemplo:
Si $A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \end{bmatrix}$ , entonces:

A^t = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}

Ejemplos

Matriz rectangular $2 \times 3$

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad A^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}

Matriz columna $3 \times 1$ → se convierte en fila

B = \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 7 \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad B^T = \begin{bmatrix} -2 & 0 & 7 \end{bmatrix}

Matriz fila $1 \times 4$ → se convierte en columna

C = \begin{bmatrix} 5 & -1 & 3 & 0 \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad C^T = \begin{bmatrix} 5 \\ -1 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}

Matriz cuadrada simétrica (su transpuesta es ella misma)

D = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad D^T = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix} = D

Matriz cuadrada no simétrica

E = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -3 & 5 \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad E^T = \begin{bmatrix} 0 & -3 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}

Propiedades

$(A^t)^t = A$
$(A + B)^t = A^t + B^t$
$(AB)^t = B^t A^t$
$(kA)^t = kA^t$

7. Matriz Triangular (Escalonada)

Caso especial: Si $AB = \theta$ (matriz nula), no implica que $A$ o $B$ sean nulas.
Ejemplo:

\begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}

8. Matriz Triangular Superior

Matriz cuadrada donde los elementos debajo de la diagonal principal son cero:

A_{n \times n} = \begin{cases} a_{ij} \neq 0 & \text{si } i \leq j \\ a_{ij} = 0 & \text{si } i > j \end{cases}

Ejemplo ( $3 \times 3$ ):

\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{bmatrix}

Ejemplos

Orden 1×1

A = \begin{bmatrix} 7 \end{bmatrix}

Orden 2×2

B = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}

Orden 3×3

C = \begin{bmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 0 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}

Orden 4×4

D = \begin{bmatrix} -2 & 0 & 1 & 7 \\ 0 & 1 & -3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}

Orden 3×3 con ceros en la diagonal

E = \begin{bmatrix} 0 & 2 & -5 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

9. Matriz Triangular Inferior

Matriz cuadrada donde los elementos arriba de la diagonal principal son cero:

A_{n \times n} = \begin{cases} a_{ij} \neq 0 & \text{si } i \geq j \\ a_{ij} = 0 & \text{si } i < j \end{cases}

Ejemplo ( $3 \times 3$ ):

\begin{bmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}

Ejemplos

Orden 1×1

A = \begin{bmatrix} -4 \end{bmatrix}

Orden 2×2

B = \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}

Orden 3×3

C = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 5 & -1 & 0 \\ 4 & 0 & 7 \end{bmatrix}

Orden 4×4

D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 0 \\ -1 & 4 & 5 & 0 \\ 0 & 2 & -3 & 6 \end{bmatrix}

Orden 3×3 con ceros en la diagonal

E = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ -1 & 5 & 0 \end{bmatrix}

10. Matriz Diagonal

Una matriz diagonal es una matriz cuadrada que es simultáneamente triangular superior e inferior, donde todos los elementos fuera de la diagonal principal son cero.

Definición general:

D_{n \times n} = \begin{bmatrix} d_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & d_n \end{bmatrix}

Definición formal:

D_{n \times n} = \begin{cases} a_{ij} \neq 0 & \text{si } i = j \\ a_{ij} = 0 & \text{si } i \neq j \end{cases}

Propiedad de potencias: La potencia $k$ -ésima de una matriz diagonal se calcula elevando cada elemento de la diagonal a dicha potencia:

D^k = \begin{bmatrix} d_1^k & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_2^k & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & d_n^k \end{bmatrix}

Ejemplo:

D = \begin{bmatrix} -5 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix}

11. Matriz Diagonal Inversa

Para una matriz diagonal no singular (donde todos los elementos diagonales $d_i \neq 0$ ), su inversa se calcula tomando el inverso de cada elemento diagonal:

D^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{d_1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \frac{1}{d_2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \frac{1}{d_n} \end{bmatrix}

Condición: Todos los $d_i$ deben ser distintos de cero para que exista $D^{-1}$ .

12. Matriz Conjugada

Dada una matriz $A$ con elementos complejos, su matriz conjugada $\overline{A}$ se obtiene conjugando cada elemento de $A$ .

Propiedades

Doble conjugación: $\overline{\overline{A}} = A$
Conjugada de la transpuesta: $\overline{A^t} = (\overline{A})^t$
Conjugación y escalares: Para $k \in \mathbb{C}$ , $\overline{kA} = \overline{k} \cdot \overline{A}$
Conjugación de la suma: $\overline{A + B} = \overline{A} + \overline{B}$
Conjugación del producto: $\overline{AB} = \overline{A} \cdot \overline{B}$

Ejemplo:

A = \begin{bmatrix} i & 1 - i \\ 3 & 1 - 2i \end{bmatrix} \implies \overline{A} = \begin{bmatrix} -i & 1 + i \\ 3 & 1 + 2i \end{bmatrix}

Matrices Especiales

1. Matriz Simétrica

Una matriz cuadrada $A_{n \times n} = [a_{ij}]$ es simétrica si y solo si:

A = A^t

Características:

$a_{ij} = a_{ji}$ para todo $i, j$ Ejemplos:
Toda matriz diagonal es simétrica

Ejemplos

Orden 1×1 (siempre simétrica)

A = \begin{bmatrix} -4 \end{bmatrix}

$A^t = \begin{bmatrix} -4 \end{bmatrix} = A$

Orden 2×2

B = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 5 \end{bmatrix}

$B^t = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 5 \end{bmatrix} = B$ , donde $b_{12} = b_{21} = -1$

Orden 2×2 (Diagonal)

C = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 7 \end{bmatrix}

$C^t = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 7 \end{bmatrix} = C$

Orden 3×3

D = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 4 & -2 & 3 \\ 0 & 3 & 5 \end{bmatrix}

$D^t = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 4 & -2 & 3 \\ 0 & 3 & 5 \end{bmatrix} = D$ , verificando que $d_{12}=d_{21}=4$ , $d_{13}=d_{31}=0$ , $d_{23}=d_{32}=3$

Orden 3×3 (Matriz Identidad)

I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

$I_3^t = I_3$ , caso particular de matriz diagonal

Orden 4×4 (Matriz Nula)

0_{4} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

$0_{4}^t = 0_{4}$ , todos los elementos son iguales ( $0=0$ )

2. Matriz Antisimétrica (Hemisimétrica)

Una matriz cuadrada $A_{n \times n} = [a_{ij}]$ es antisimétrica si y solo si:

A^t = -A

Propiedades:

Los elementos diagonales son cero ( $a_{ii} = 0$ )
$a_{ij} = -a_{ji}$ para $i \neq j$

Ejemplos:

A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 3 \\ -2 & -3 & 0 \end{bmatrix}

Ejemplos

Orden 1×1 (solo la matriz nula)

A = \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}

A^t = \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix} = -A = \begin{bmatrix} -0 \end{bmatrix}

Orden 2×2

B = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ -3 & 0 \end{bmatrix}

B^t = \begin{bmatrix} 0 & -3 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} = -\begin{bmatrix} 0 & 3 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} = -B

Orden 2×2

C = \begin{bmatrix} 0 & -5 \\ 5 & 0 \end{bmatrix}

C^t = \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ -5 & 0 \end{bmatrix} = -\begin{bmatrix} 0 & -5 \\ 5 & 0 \end{bmatrix} = -C

Orden 3×3

D = \begin{bmatrix} 0 & 2 & -1 \\ -2 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \end{bmatrix}

D^t = \begin{bmatrix} 0 & -2 & 1 \\ 2 & 0 & -4 \\ -1 & 4 & 0 \end{bmatrix} = -\begin{bmatrix} 0 & 2 & -1 \\ -2 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \end{bmatrix} = -D

Orden 3×3 (con elementos racionales)

E = \begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} \\ -\frac{1}{2} & 0 & 2 \\ \frac{3}{4} & -2 & 0 \end{bmatrix}

E^t = \begin{bmatrix} 0 & -\frac{1}{2} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2} & 0 & -2 \\ -\frac{3}{4} & 2 & 0 \end{bmatrix} = -E

Orden 4×4

F = \begin{bmatrix} 0 & a & b & c \\ -a & 0 & d & e \\ -b & -d & 0 & f \\ -c & -e & -f & 0 \end{bmatrix}

Propiedad: Esta matriz es antisimétrica para cualquier elección de números reales $a, b, c, d, e, f$ , ya que por construcción $f_{ij} = -f_{ji}$ para todo $i, j$ y $f_{ii} = 0$ .

3. Matriz Normal

Una matriz es normal si conmuta con su transpuesta:

A \cdot A^t = A^t \cdot A

Incluye:

Matrices simétricas
Matrices antisimétricas
Matrices unitarias

4. Matriz Singular

Una matriz cuadrada es singular si:

\det(A) = 0

Consecuencia:

No tiene inversa
Su rango es menor que $n$

5. Matriz Regular (No singular)

Una matriz cuadrada es regular si:

\det(A) \neq 0 \quad \text{y} \quad \rho(A) = n

Propiedades:

Tiene inversa
Es invertible

6. Matriz Periódica

Una matriz es periódica si existe $k \in \mathbb{Z}^+$ tal que:

A^{k+1} = A

Caso especial: Si $A^k = I$ , se dice que tiene periodo $k$

Ejemplo :

A^{k+1} = A, \quad A^{k+2} = A^2, \quad \ldots

7. Matriz Idempotente

Una matriz cuadrada es idempotente si:

A^2 = A

Ejemplo:

A = \begin{bmatrix} -1 & 3 & 5 \\ 1 & -3 & -5 \\ -1 & 3 & 5 \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad A^7 = A

Propiedades:

$A^n = A$ para todo $n \geq 1$
Los autovalores son 0 o 1

8. Matriz Nilpotente

Una matriz cuadrada $A$ es nilpotente si existe un entero $k \geq 2$ tal que:

A^k = \theta

donde $\theta$ es la matriz nula. El menor $k$ que satisface esta condición se llama índice de nilpotencia.

Ejemplo:

A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 4 & -2 \end{bmatrix}

Verificación:

A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}

Propiedades:

$A^{k+1} = A^{k+2} = \cdots = \theta$ para todo exponente mayor o igual a $k$
Todos sus autovalores son cero

9. Matriz Involutiva

Una matriz cuadrada $A$ es involutiva si cumple:

A^2 = I

Es decir, su cuadrado es la matriz identidad.

Comportamiento para potencias:

$A^k = A$ si $k$ es impar
$A^k = I$ si $k$ es par

Ejemplos:

$A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$

Propiedad clave

$A^{-1} = A$ (su inversa es ella misma)

10. Matriz Ortogonal

Una matriz cuadrada $A$ es ortogonal si cumple:

A A^t = A^t A = I

lo que implica que:

A^{-1} = A^t

Ejemplo (matriz de rotación):

A = \begin{bmatrix} \sin x & -\cos x \\ \cos x & \sin x \end{bmatrix}

Verificación:

A A^t = \begin{bmatrix} \sin^2 x + \cos^2 x & 0 \\ 0 & \sin^2 x + \cos^2 x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Propiedades

Preserva el producto interno ( $\|A\mathbf{v}\| = \|\mathbf{v}\|$ )
Sus columnas forman una base ortonormal
$\det(A) = \pm 1$

Relación fundamental:

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

11. Matriz Hermítica (o Hermitiana)

Una matriz cuadrada compleja $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ es hermítica si coincide con su traspuesta conjugada:

A = A^* \quad \text{donde} \quad A^* = (\overline{A})^t

Ejemplo:

A = \begin{bmatrix} 4 & -i & 3 + 2i \\ i & -3 & 4 - 7i \\ 3 - 2i & 4 + 7i & 6 \end{bmatrix}

Propiedades clave

Diagonal real: Los elementos $a_{ii}$ son reales.
Simetría conjugada: $a_{ij} = \overline{a_{ji}}$ .
Autovalores reales: Todos sus autovalores son números reales.

12. Matriz Antihermítica (o Hemibermítica)

Una matriz cuadrada compleja $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ es antihermítica si:

A = -A^* \quad \text{donde} \quad A^* = (\overline{A})^t

Ejemplo:

A = \begin{bmatrix} 0 & 1 - i & 4 + 3i \\ -1 - i & i & -3 \\ -4 + 3i & 3 & 0 \end{bmatrix}

Propiedades clave

Diagonal imaginaria pura: Los elementos $a_{ii}$ son imaginarios puros (o cero).
Antisimetría conjugada: $a_{ij} = -\overline{a_{ji}}$ .
Autovalores imaginarios puros: Todos sus autovalores son números imaginarios puros.

Relación entre matrices hermíticas y antihermíticas:

Cualquier matriz compleja $B$ puede escribirse como: $B = H + K$ donde $H$ es hermítica ( $H = \frac{B + B^*}{2}$ ) y $K$ es antihermítica ( $K = \frac{B - B^*}{2}$ ).

Notación alternativa:

$A^*$ o $A^\dagger$ denota la traspuesta conjugada (adjunta).
En física, las matrices hermíticas son fundamentales para operadores cuánticos.

Definicion:

Propiedades de las Matrices

1. Propiedades de la Suma

Propiedades de la Matriz Cero (θ\thetaθ)

2. Propiedades del Producto

3. Propiedades de la Potencia

4. Matriz Polinomial

Tipos de Matrices

1. Matriz Cuadrada

2. Matriz Nula (θ\thetaθ)

3. Matriz Identidad (InI_nIn​)

4. Matriz Fila

5. Matriz Columna

6. Matriz Transpuesta (AtA^tAt)

7. Matriz Triangular (Escalonada)

8. Matriz Triangular Superior

9. Matriz Triangular Inferior

10. Matriz Diagonal

11. Matriz Diagonal Inversa

12. Matriz Conjugada

Matrices Especiales

1. Matriz Simétrica

2. Matriz Antisimétrica (Hemisimétrica)

3. Matriz Normal

4. Matriz Singular

5. Matriz Regular (No singular)

6. Matriz Periódica

7. Matriz Idempotente

8. Matriz Nilpotente

9. Matriz Involutiva

10. Matriz Ortogonal

Relación fundamental:

11. Matriz Hermítica (o Hermitiana)

12. Matriz Antihermítica (o Hemibermítica)

Relación entre matrices hermíticas y antihermíticas:

Notación alternativa:

Propiedades de la Matriz Cero ( $\theta$ )

2. Matriz Nula ( $\theta$ )

3. Matriz Identidad ( $I_n$ )

6. Matriz Transpuesta ( $A^t$ )