First-Order Ordinary Differential Equations

Forma estándar:

$$f_1(x)g_1(y)\,dx + f_2(x)g_2(y)\,dy = 0$$

Método de solución: :::: steps ::: step Separar las variables:

$$\frac{f_1(x)}{f_2(x)}\,dx = -\frac{g_2(y)}{g_1(y)}\,dy$$

::: ::: step Integrar ambos lados:

$$\int \frac{f_1(x)}{f_2(x)}\,dx = -\int \frac{g_2(y)}{g_1(y)}\,dy + C$$

:::

::::

1. Separar las variables:

   $$\frac{f_1(x)}{f_2(x)}\,dx = -\frac{g_2(y)}{g_1(y)}\,dy$$

2. Integrar ambos lados:

   $$\int \frac{f_1(x)}{f_2(x)}\,dx = -\int \frac{g_2(y)}{g_1(y)}\,dy + C$$

Ejemplo típico: $y' = x^2 y$

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Forma característica:

$$\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right)$$

Método de solución:

1. Realizar la sustitución: $y = vx \Rightarrow dy = v\,dx + x\,dv$
2. La ecuación se transforma en:

   $$v + x\frac{dv}{dx} = f(v)$$

3. Separar variables e integrar:

   $$\int \frac{dv}{f(v) - v} = \int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C$$

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Forma general:

$$\frac{dy}{dx} = x^{\alpha-1} f\left(\frac{y}{x^\alpha}\right)$$

Método:

1. Realizar la sustitución: $y = z^\alpha$
2. Escoger $\alpha$ adecuado para obtener una ecuación homogénea
3. Resolver como una ecuación homogénea estándar

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Forma estándar:

$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$

Solución mediante factor integrante:

$$\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx}$$

$$y = \frac{1}{\mu(x)}\left[\int \mu(x)Q(x)\,dx + C\right]$$

Algoritmo:

1. Calcular el factor integrante: $\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx}$
2. Multiplicar toda la ecuación por $\mu(x)$
3. Integrar ambos lados de la ecuación resultante

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Forma general:

$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n \quad (n \neq 0, 1)$$

Método de reducción a lineal:

1. Dividir por $y^n$: $y^{-n}\frac{dy}{dx} + P(x)y^{1-n} = Q(x)$
2. Realizar la sustitución: $u = y^{1-n} \Rightarrow \frac{du}{dx} = (1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}$
3. Se obtiene una ecuación lineal:

   $$\frac{du}{dx} + (1-n)P(x)u = (1-n)Q(x)$$

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Forma general:

$$\frac{dy}{dx} = f(ax + by + c)$$

Método de solución:

1. Realizar la sustitución: $u = ax + by + c$
2. Derivar respecto a $x$: $\frac{du}{dx} = a + b\frac{dy}{dx}$
3. Separar variables: $\frac{du}{a + bf(u)} = dx$

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Forma general:

$$\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{a_1x + b_1y + c_1}{a_2x + b_2y + c_2}\right)$$

$$\Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = 0$$

Método: Realizar la sustitución $u = a_1x + b_1y$

1. Resolver el sistema de ecuaciones:

   $$\begin{cases} a_1h + b_1k + c_1 = 0 \\ a_2h + b_2k + c_2 = 0 \end{cases}$$

   Solución: $(h, k)$
2. Aplicar la transformación: $x = X + h, \quad y = Y + k$
3. La ecuación se convierte en homogénea en $X, Y$

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Forma general:

$$\frac{dy}{dx} = P(x) + Q(x)y + R(x)y^2$$

Sustitución: $y = y_1 + \frac{1}{u}$ Resulta en una ecuación lineal para $u$

Sustitución: $\frac{y - y_1}{y - y_2} = Cu$ Resulta en una ecuación separable

• $y = u e^{\int Q dx}$
• $y = u - \frac{Q}{2R}$ (reducción a forma canónica)

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Forma general:

$$M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0$$

$$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$$

1. Verificar la condición de exactitud
2. Hallar una función $F(x,y)$ tal que:

   $$\frac{\partial F}{\partial x} = M, \quad \frac{\partial F}{\partial y} = N$$

3. La solución general es: $F(x,y) = C$

Fórmula práctica:

$$F(x,y) = \int M(x,y)\,dx + \int \left[N(x,y) - \frac{\partial}{\partial y}\int M(x,y)\,dx\right]dy$$

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Cuando $M_y \neq N_x$, buscar $\mu(x,y)$ tal que:

$$\mu M\,dx + \mu N\,dy = 0 \text{ sea exacta}$$

$$\text{Si } \frac{M_y - N_x}{N} = f(x) \Rightarrow \mu(x) = e^{\int f(x)\,dx}$$

$$\text{Si } \frac{N_x - M_y}{M} = g(y) \Rightarrow \mu(y) = e^{\int g(y)\,dy}$$

Determinar $m, n$ a partir de:

$$\frac{\partial}{\partial y}(\mu M) = \frac{\partial}{\partial x}(\mu N)$$

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Forma general:

$$y = x f(p) + g(p), \quad p = \frac{dy}{dx}$$

Método de solución:

1. Derivar respecto a $x$:

   $$p = f(p) + x f'(p)\frac{dp}{dx} + g'(p)\frac{dp}{dx}$$

2. Resolver la ecuación lineal resultante en $x$ y $p$
3. Eliminar $p$ para obtener la solución final

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Caso especial de la ecuación de Lagrange:

$$y = x p + f(p), \quad p = \frac{dy}{dx}$$

1. Derivar respecto a $x$: $p = p + x\frac{dp}{dx} + f'(p)\frac{dp}{dx}$
2. Simplificar: $[x + f'(p)]\frac{dp}{dx} = 0$

$$y = Cx + f(C) \quad \text{(Familia de rectas)}$$

Eliminando $p$ se obtiene la envolvente

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Tipo de EDO	Forma identificadora	Método principal
Variables separables	$f(x)g(y)\,dx + h(x)k(y)\,dy = 0$	Separación e integración
Homogénea	$y' = f(y/x)$	Sustitución $y = vx$
Lineal	$y' + P(x)y = Q(x)$	Factor integrante
Bernoulli	$y' + P(x)y = Q(x)y^n$	Sustitución $u = y^{1-n}$
Exacta	$M dx + N dy = 0$ con $M_y = N_x$	Integración directa
Riccati	$y' = P(x) + Q(x)y + R(x)y^2$	Con solución particular conocida

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