Vectors

Definición

Un vector es una magnitud física que se caracteriza por tener:

• Módulo o magnitud: longitud del vector.
• Dirección: orientación en el espacio.
• Sentido: indica hacia dónde apunta el vector.

Se representa como:

$$\vec{v} \quad \text{o} \quad \overrightarrow{AB}$$

Representación de un vector

• Gráficamente: mediante una flecha que va desde un punto inicial hasta un punto final.
• Analíticamente:
  • En 2D: $\vec{v} = (v_x, v_y)$
  • En 3D: $\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)$

Tipos de vectores

Vectores colineales

Son aquellos que se encuentran contenidos en una misma línea de acción.

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$\vec{A}$, $\vec{B}$ y $\vec{C}$ son vectores colineales porque están en una misma línea de acción.
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Vectores paralelos

Son aquellos que tienen sus líneas de acción respectivamente paralelas.

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$\vec{A}$ y $\vec{B}$ son vectores paralelos porque sus líneas de acción son paralelas.
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Vectores opuestos

Son aquellos que presentan igual módulo, pero sus direcciones se diferencian en $180^\circ$.

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Sea

$$\theta_B - \theta_A = 180^\circ \quad \text{y} \quad |\vec{A}| = |\vec{B}|$$

entonces

$$\vec{B} = -\vec{A}$$

$\vec{B}$ es el opuesto de $\vec{A}$.
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Vectores iguales

Son aquellos que presentan igual módulo e igual dirección.

Vectores coplanares

Son aquellos que se encuentran contenidos en un mismo plano.

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$\vec{A}$, $\vec{B}$ y $\vec{C}$ son vectores coplanares por estar en el mismo plano.
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Vectores concurrentes

Son aquellos cuyas líneas de acción se cortan en un mismo punto.

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$\vec{A}$, $\vec{B}$ y $\vec{C}$ son vectores concurrentes porque todos concurren a un solo punto.

Punto de concurrencia: punto donde se intersectan las líneas de acción de los vectores.
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Vector unitario ($\hat{\mu}$)

Representa la dirección de un vector cualquiera y se caracteriza porque su módulo es igual a la unidad.

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Definición matemática:

El vector unitario $\hat{\mu}_A$ asociado a un vector $\vec{A}$ se define como:

$$\hat{\mu}_A = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|}$$

• $\vec{A}$: vector original.
• $|\vec{A}|$: módulo (magnitud) del vector $\vec{A}$.
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Propiedad fundamental:

$$|\hat{\mu}_A| = 1\,\text{u}$$

donde “u” representa la unidad de medida del sistema.

Opearaciones con vectores

Métodos Gráficos

Método del triángulo

Nos permite hallar la resultante de dos vectores, consiste en graficar los vectores uno a continuación del otro, tal que el extremo del primero coincida con el origen del segundo vector. Su resultante se obtiene uniendo el origen del primero con el extremo del segundo vector.

Sean $\vec{A}$ y $\vec{B}$ los vectores.

Método del paralelogramo

Es una variante del método del triángulo, solo que en este caso debemos hacer coincidir el origen de ambos vectores y a partir de los extremos trazamos rectas paralelas a los otros vectores formando así un paralelogramo.

Sean $\vec{A}$ y $\vec{B}$ los vectores.

Método del polígono

Nos permite determinar la resultante de $n$ vectores. Consiste en colocar los vectores uno a continuación del otro, donde el vector resultante se obtiene uniendo el origen del primer vector con el extremo del último.

Sean los vectores libres.

Casos Particulares

a) Vectores que forman un polígono cerrado y ordenado; la resultante es cero:

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Los vectores $\vec{A}$, $\vec{B}$, $\vec{C}$ y $\vec{D}$ se colocan cabeza con cola, formando un polígono cerrado. La resultante es nula:

$$\vec{R} = \vec{0}$$

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b) Vectores que forman un polígono cerrado y no ordenado; la resultante es diferente de cero:

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Aunque los vectores $\vec{A}$, $\vec{B}$, $\vec{C}$ y $\vec{D}$ forman una figura cerrada, su disposición no sigue el orden “cabeza con cola” del método del polígono. Por lo tanto, la resultante no se anula:

$$\vec{R} \neq \vec{0}$$

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Métodos Analíticos

Método del triángulo

Podemos resolver un triángulo vectorial si conocemos algunos de sus lados y ángulos, usando la ley de senos.

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Sean $\vec{A}$, $\vec{B}$ y $\vec{C}$ vectores que forman un triángulo, cuyos módulos son $A$, $B$ y $C$, y cuyos ángulos opuestos son $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ respectivamente.
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I. Ley de senos

$$\frac{A}{\sin \alpha} = \frac{B}{\sin \beta} = \frac{C}{\sin \gamma}$$

II. Ley de cosenos

$$\begin{align*} A^2 &= B^2 + C^2 - 2BC \cos \alpha \\ B^2 &= A^2 + C^2 - 2AC \cos \beta \\ C^2 &= A^2 + B^2 - 2AB \cos \gamma \end{align*}$$

Practice Problems

Level I

Level II

Level III