Atomic Theory and Structure of Matter

1. EVOLUCIÓN HISTÓRICA DE LA TEORÍA ATÓMICA

D

Átomo

concept

Del griego ἄτομος (átomos), que significa "indivisible". Es la unidad más pequeña de un elemento químico que mantiene sus propiedades.

1.1 Pensamiento Presocrático

Tales de Mileto (640-546 a.C.)

Proposición revolucionaria: "El agua es el principio de todas las cosas"

  • Fundamento observacional: Cambios de estado (hielo → agua → vapor)
  • Innovación: Primera explicación naturalista sin deidades

1.2 La Teoría Atómica de Demócrito

Tip

Demócrito argumentaba que si cortas un trozo de queso repetidamente, eventualmente llegarías a un punto donde no podrías cortarlo más: el átomo.

1.3 Teoría del Flogisto

D

Flogisto

concept

Según Stahl:

Sustancia=Flogisto+Calx\text{Sustancia} = \text{Flogisto} + \text{Calx}

Combustioˊn: Sustancia→Calx+Flogisto liberado\text{Combustión: Sustancia} \rightarrow \text{Calx} + \text{Flogisto liberado}

:::observation
Paradoja del flogisto: Los metales ganaban peso al calcinarse (perder flogisto según la teoría). ¡Esto contradecía la lógica!
:::

2. MODELOS ATÓMICOS: DE DALTON A BOHR

2.1 Modelo de John Dalton (1808

Postulados Matemáticos

  1. Átomos indivisibles: No procesos químicos los dividen
  2. Identidad elemental: Para un elemento E:

    maˊtomo,E=constantem_{\text{átomo,E}} = \text{constante}

  3. Diferencia elemental: Si E₁ ≠ E₂:

    maˊtomo,E₁≠maˊtomo,E₂m_{\text{átomo,E₁}} \neq m_{\text{átomo,E₂}}

  4. Combinación química:

    aA+bB→AaBbcon a,b∈Z+aA + bB \rightarrow A_aB_b \quad \text{con } a,b \in \mathbb{Z}^+

2.2 Descubrimiento del Electrón (1897

Relación carga/masa del electrón:

eme=1.76×108 C/g\frac{e}{m_e} = 1.76 \times 10^8 \ \text{C/g}

Comparación con protón:

e/mee/mp=mpme≈1836\frac{e/m_e}{e/m_p} = \frac{m_p}{m_e} \approx 1836

Modelo de Thomson

Electrones incrustados en esfera positiva:

Frestauradora=−kr(oscilador armoˊnico)F_{\text{restauradora}} = -k r \quad \text{(oscilador armónico)}

2.3 Experimento de Rutherford (1911

Fórmula de Dispersión Rutherford

Sección eficaz diferencial:

dσdΩ=(Z1Z2e28πϵ0K)2csc⁡4(θ2)\frac{d\sigma}{d\Omega} = \left( \frac{Z_1 Z_2 e^2}{8\pi\epsilon_0 K} \right)^2 \csc^4\left(\frac{\theta}{2}\right)

Parámetro de impacto:

b=Z1Z2e24πϵ0Kcot⁡(θ2)b = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{4\pi\epsilon_0 K} \cot\left(\frac{\theta}{2}\right)

Cálculo para partículas α en oro

Para θ = 90°:

b=(2)(79)(1.44 eV\cdotpnm)5.5×106 eVcot⁡(45∘)≈4.1×10−5 nmb = \frac{(2)(79)(1.44 \ \text{eV·nm})}{5.5 \times 10^6 \ \text{eV}} \cot(45^\circ) \approx 4.1 \times 10^{-5} \ \text{nm}

Esto es ≈10⁻⁵ del radio atómico.

2.4 Modelo de Bohr (1913

D

Postulados Cuánticos

concept

  1. Cuantización del momento angular:

    mevr=nℏcon n=1,2,3,…m_e v r = n\hbar \quad \text{con } n=1,2,3,\ldots

  2. Radio de las órbitas:

    rn=4πϵ0ℏ2mee2n2=a0n2r_n = \frac{4\pi\epsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2} n^2 = a_0 n^2

    donde:

    a0=0.529×10−10 ma_0 = 0.529 \times 10^{-10} \ \text{m}

  3. Energía cuantizada:

    En=−mee48ϵ02h2⋅1n2=−13.6n2 eVE_n = -\frac{m_e e^4}{8\epsilon_0^2 h^2} \cdot \frac{1}{n^2} = -\frac{13.6}{n^2} \ \text{eV}

  4. Transiciones:

    ΔE=Ef−Ei=hν=hcλ\Delta E = E_f - E_i = h\nu = \frac{hc}{\lambda}

Cálculo para n=2

Radio:

r2=a0×22=4×0.529 A˚=2.116 A˚r_2 = a_0 \times 2^2 = 4 \times 0.529 \ \text{Å} = 2.116 \ \text{Å}

Energía:

E2=−13.622=−3.4 eVE_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -3.4 \ \text{eV}

Velocidad:

v2=e24πϵ0ℏ⋅12=αc2≈1.09×106 m/sv_2 = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 \hbar} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\alpha c}{2} \approx 1.09 \times 10^6 \ \text{m/s}

donde α ≈ 1/137 es la constante de estructura fina.

Fórmulas útiles para Bohr

Radio: $ r_n = n^2 a_0 $

Energía: $ E_n = -\dfrac{13.6}{n^2} $ eV

Velocidad: $ v_n = \dfrac{v_1}{n} $ con $ v_1 \approx 2.19 \times 10^6 $ m/s

Frecuencia orbital: $ f_n = \dfrac{v_n}{2\pi r_n} $

3. ESTRUCTURA ATÓMICA MODERNA

3.1 Constituyentes Fundamentales

Relaciones de Masa

mpme=1836.15267343\frac{m_p}{m_e} = 1836.15267343

mnme=1838.68366173\frac{m_n}{m_e} = 1838.68366173

mnmp=1.00137841898\frac{m_n}{m_p} = 1.00137841898

3.2 Nomenclatura Nuclear

D

Notación General

concept

ZAEq±{}^A_Z E^{q\pm}

donde:

  • A=Z+NA = Z + N (número másico)
  • ZZ = número atómico (protones)
  • NN = número de neutrones
  • qq = carga iónica
Ejemplos Numéricos

Carbono-14:

614C⇒p+=6, n0=8, e−=6{}^{14}_{6}C \quad \Rightarrow \quad p^+ = 6, \ n^0 = 8, \ e^- = 6

Catión hierro(III):

2656Fe3+⇒p+=26, n0=30, e−=23{}^{56}_{26}Fe^{3+} \quad \Rightarrow \quad p^+ = 26, \ n^0 = 30, \ e^- = 23

3.3 Masa Atómica Promedio

D

Cálculo del Promedio Ponderado

concept

Aˉ=∑iAi⋅ai∑iai\bar{A} = \frac{\sum_{i} A_i \cdot a_i}{\sum_{i} a_i}

o alternativamente:

Aˉ=∑iAi⋅(%i)100%\bar{A} = \frac{\sum_{i} A_i \cdot (\%_i)}{100\%}

Cálculo para el Cloro

Datos:

  • 35Cl{}^{35}\text{Cl}: A=34.9689A = 34.9689 u, abundancia = 75.77%
  • 37Cl{}^{37}\text{Cl}: A=36.9659A = 36.9659 u, abundancia = 24.23%

Cálculo:

Aˉ=34.9689×75.77+36.9659×24.23100\bar{A} = \frac{34.9689 \times 75.77 + 36.9659 \times 24.23}{100}

Aˉ=2649.72+895.99100=35.453 u\bar{A} = \frac{2649.72 + 895.99}{100} = 35.453 \ \text{u}

4. RADIACIONES Y ESPECTROS

4.1 Radiación Electromagnética

📑

Ecuaciones Fundamentales

Relación básica:

c=λν=299,792,458 m/sc = \lambda \nu = 299,792,458 \ \text{m/s}

Energía del fotón:

E=hν=hcλE = h\nu = \frac{hc}{\lambda}

Número de onda:

ν~=1λ\tilde{\nu} = \frac{1}{\lambda}

Datos útiles:

hc=1240 eV\cdotpnmhc = 1240 \ \text{eV·nm}

hckB=1.439 cm\cdotpK(constante para radiacioˊn de cuerpo negro)\frac{hc}{k_B} = 1.439 \ \text{cm·K} \quad \text{(constante para radiación de cuerpo negro)}

4.2 Efecto Fotoeléctrico

Ecuación de Einstein

hν=Φ+Kmaˊxh\nu = \Phi + K_{\text{máx}}

donde:

  • hνh\nu = energía del fotón incidente
  • Φ\Phi = función trabajo del material
  • Kmaˊx=12mevmaˊx2K_{\text{máx}} = \frac{1}{2} m_e v_{\text{máx}}^2

En términos de frecuencia umbral:

Kmaˊx=h(ν−ν0)con ν0=ΦhK_{\text{máx}} = h(\nu - \nu_0) \quad \text{con } \nu_0 = \frac{\Phi}{h}

Problema Resuelto

Enunciado: Luz de λ = 300 nm incide sobre potasio (Φ = 2.3 eV).
Calcular KmaˊxK_{\text{máx}}.

Solución:

Efotoˊn=hcλ=1240 eV\cdotpnm300 nm=4.133 eVE_{\text{fotón}} = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1240 \ \text{eV·nm}}{300 \ \text{nm}} = 4.133 \ \text{eV}

Kmaˊx=Efotoˊn−Φ=4.133−2.3=1.833 eVK_{\text{máx}} = E_{\text{fotón}} - \Phi = 4.133 - 2.3 = 1.833 \ \text{eV}

En julios:

Kmaˊx=1.833 eV×1.602×10−19 J/eV=2.937×10−19 JK_{\text{máx}} = 1.833 \ \text{eV} \times 1.602 \times 10^{-19} \ \text{J/eV} = 2.937 \times 10^{-19} \ \text{J}

4.3 Espectros Atómicos

D

Ecuación de Rydberg Generalizada

concept

1λ=RZ(1n12−1n22)\frac{1}{\lambda} = R_Z \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)

donde:

RZ=R∞Z21+meMR_Z = R_\infty \frac{Z^2}{1 + \frac{m_e}{M}}

R∞=1.0973731568160×107 m−1R_\infty = 1.0973731568160 \times 10^7 \ \text{m}^{-1}

Cálculo de línea Hα

Transición: n=3 → n=2 (primera línea Balmer)

1λ=RH(122−132)=RH(14−19)\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R_H \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right)

1λ=1.097×107×536=1.524×106 m−1\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \times \frac{5}{36} = 1.524 \times 10^6 \ \text{m}^{-1}

λ=656.3 nm(color rojo)\lambda = 656.3 \ \text{nm} \quad \text{(color rojo)}

Energía del fotón:

E=hcλ=1240656.3=1.89 eVE = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1240}{656.3} = 1.89 \ \text{eV}

5. FÍSICA NUCLEAR BÁSICA

5.1 Radiactividad Natural

D

Leyes de Desplazamiento

concept

Desintegración α:

ZAX→Z−2A−4Y+24α{}^A_Z X \rightarrow {}^{A-4}_{Z-2} Y + {}^4_2 \alpha

Desintegración β⁻:

ZAX→Z+1AY+e−+νˉe{}^A_Z X \rightarrow {}^A_{Z+1} Y + e^- + \bar{\nu}_e

Desintegración β⁺:

ZAX→Z−1AY+e++νe{}^A_Z X \rightarrow {}^A_{Z-1} Y + e^+ + \nu_e

Captura electrónica:

ZAX+e−→Z−1AY+νe{}^A_Z X + e^- \rightarrow {}^A_{Z-1} Y + \nu_e

5.2 Cinética de Desintegración

Ley de Desintegración Radioactiva

Ecuación diferencial:

dNdt=−λN\frac{dN}{dt} = -\lambda N

Solución:

N(t)=N0e−λtN(t) = N_0 e^{-\lambda t}

Actividad:

A(t)=∣dNdt∣=λN(t)=A0e−λtA(t) = \left| \frac{dN}{dt} \right| = \lambda N(t) = A_0 e^{-\lambda t}

D

Vida Media y Periodo

concept

Vida media (τ):

τ=1λ\tau = \frac{1}{\lambda}

Periodo de semidesintegración (T₁/₂):

T1/2=τln⁡2=ln⁡2λT_{1/2} = \tau \ln 2 = \frac{\ln 2}{\lambda}

Relación con actividad:

N(t)N0=(12)t/T1/2\frac{N(t)}{N_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}

Cálculo con ¹⁴C

Datos:

T1/2(14C)=5730 an˜osT_{1/2}(^{14}C) = 5730 \ \text{años}

λ=ln⁡2T1/2=0.6935730=1.21×10−4 an˜o−1\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{5730} = 1.21 \times 10^{-4} \ \text{año}^{-1}

Si N/N₀ = 0.25:

0.25=e−λt⇒t=−ln⁡0.25λ0.25 = e^{-\lambda t} \Rightarrow t = -\frac{\ln 0.25}{\lambda}

t=1.3861.21×10−4=11,460 an˜ost = \frac{1.386}{1.21 \times 10^{-4}} = 11,460 \ \text{años}

6. PROBLEMAS RESUELTOS

6.1 Problemas de Estructura Atómica

Problema 1: Cálculo de parámetros

Enunciado: Átomo 3065Zn2+{}^{65}_{30}Zn^{2+}. Calcular todas las partículas.

Solución:

p+=Z=30p^+ = Z = 30

n0=A−Z=65−30=35n^0 = A - Z = 65 - 30 = 35

e−=Z−q=30−2=28e^- = Z - q = 30 - 2 = 28

Masa total aproximada:

m≈30×1.00728+35×1.00866=65.4579 um \approx 30 \times 1.00728 + 35 \times 1.00866 = 65.4579 \ \text{u}

6.2 Problemas de Espectros

Problema 2: Transición en H

Enunciado: Calcular λ y E para transición n=4 → n=2.

Solución:

1λ=RH(122−142)=RH(14−116)\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R_H \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right)

1λ=1.097×107×316=2.057×106 m−1\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \times \frac{3}{16} = 2.057 \times 10^6 \ \text{m}^{-1}

λ=486.1 nm(lıˊnea Hβ, azul-verde)\lambda = 486.1 \ \text{nm} \quad \text{(línea Hβ, azul-verde)}

E=hcλ=1240486.1=2.55 eVE = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1240}{486.1} = 2.55 \ \text{eV}

6.3 Problemas de Desintegración

Problema 3: Actividad radioactiva

Enunciado: Muestra de 1g de 88226{}^{226}_{88}Ra (T₁/₂ = 1600 años).
Calcular actividad inicial.

Solución:

N0=1 g226 g/mol×6.022×1023=2.66×1021 aˊtomosN_0 = \frac{1 \ \text{g}}{226 \ \text{g/mol}} \times 6.022 \times 10^{23} = 2.66 \times 10^{21} \ \text{átomos}

λ=ln⁡2T1/2=0.6931600×3.156×107 s=1.37×10−11 s−1\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{1600 \times 3.156 \times 10^7 \ \text{s}} = 1.37 \times 10^{-11} \ \text{s}^{-1}

A0=λN0=1.37×10−11×2.66×1021=3.64×1010 BqA_0 = \lambda N_0 = 1.37 \times 10^{-11} \times 2.66 \times 10^{21} = 3.64 \times 10^{10} \ \text{Bq}

A0=0.984 Ci(1 Ci = 3.7 × 10¹⁰ Bq)A_0 = 0.984 \ \text{Ci} \quad \text{(1 Ci = 3.7 × 10¹⁰ Bq)}

7. FÓRMULAS CLAVE RESUMEN

Tabla de Fórmulas Esenciales

Concepto Fórmula Variables
Radio de Bohr $ r_n = a_0 n^2 $ $ a_0 = 0.529 \ \text{Å} $
Energía en H $ E_n = -\dfrac{13.6}{n^2} \ \text{eV} $ n = nivel
Rydberg $ \dfrac{1}{\lambda} = R_H\left(\dfrac{1}{n_1^2} - \dfrac{1}{n_2^2}\right) $ $ R_H = 1.097 \times 10^7 \ \text{m}^{-1} $
Efecto fotoeléctrico $ h\nu = \Phi + \frac{1}{2}mv_{\text{máx}}^2 $ Φ = función trabajo
Desintegración $ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} $ λ = constante desintegración
Periodo $ T_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda} $
Relación c/m electrón $ \dfrac{e}{m_e} = 1.76 \times 10^8 \ \text{C/g} $
Constante de Planck $ h = 6.626 \times 10^{-34} \ \text{J·s} $
Velocidad luz $ c = 2.998 \times 10^8 \ \text{m/s} $
Carga elemental $ e = 1.602 \times 10^{-19} \ \text{C} $

Conversiones Útiles

1 eV=1.602×10−19 J1 \ \text{eV} = 1.602 \times 10^{-19} \ \text{J}

1 u=1.661×10−27 kg1 \ \text{u} = 1.661 \times 10^{-27} \ \text{kg}

1 A˚=10−10 m1 \ \text{Å} = 10^{-10} \ \text{m}

1 nm=10−9 m1 \ \text{nm} = 10^{-9} \ \text{m}

hc=1240 eV\cdotpnm=12400 eV\cdotpA˚hc = 1240 \ \text{eV·nm} = 12400 \ \text{eV·Å}

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