Atomic Theory and Structure of Matter

Resumen Ejecutivo del Capítulo
Este capítulo presenta la evolución histórica de la teoría atómica, desde las ideas filosóficas griegas hasta el modelo mecano-cuántico actual. Cubre los experimentos clave, los modelos atómicos sucesivos, la estructura nuclear y electrónica, y las aplicaciones modernas de la física atómica.

Del griego ἄτομος (átomos), que significa “indivisible”. Es la unidad más pequeña de un elemento químico que mantiene sus propiedades.

Proposición revolucionaria: “El agua es el principio de todas las cosas”

• Fundamento observacional: Cambios de estado (hielo → agua → vapor)
• Innovación: Primera explicación naturalista sin deidades

Demócrito argumentaba que si cortas un trozo de queso repetidamente, eventualmente llegarías a un punto donde no podrías cortarlo más: el átomo.

Aunque brillante, la teoría de Demócrito era puramente filosófica, sin base experimental. Sería ignorada por 2000 años hasta Dalton.

Según Stahl:

$$\text{Sustancia} = \text{Flogisto} + \text{Calx}$$

$$\text{Combustión: Sustancia} \rightarrow \text{Calx} + \text{Flogisto liberado}$$

Paradoja del flogisto: Los metales ganaban peso al calcinarse (perder flogisto según la teoría). ¡Esto contradecía la lógica!

1. Átomos indivisibles: No procesos químicos los dividen
2. Identidad elemental: Para un elemento E:

   $$m_{\text{átomo,E}} = \text{constante}$$

3. Diferencia elemental: Si E₁ ≠ E₂:

   $$m_{\text{átomo,E₁}} \neq m_{\text{átomo,E₂}}$$

4. Combinación química:

   $$aA + bB \rightarrow A_aB_b \quad \text{con } a,b \in \mathbb{Z}^+$$

Relación carga/masa del electrón:

$$\frac{e}{m_e} = 1.76 \times 10^8 \ \text{C/g}$$

Comparación con protón:

$$\frac{e/m_e}{e/m_p} = \frac{m_p}{m_e} \approx 1836$$

Electrones incrustados en esfera positiva:

$$F_{\text{restauradora}} = -k r \quad \text{(oscilador armónico)}$$

Sección eficaz diferencial:

$$\frac{d\sigma}{d\Omega} = \left( \frac{Z_1 Z_2 e^2}{8\pi\epsilon_0 K} \right)^2 \csc^4\left(\frac{\theta}{2}\right)$$

Parámetro de impacto:

$$b = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{4\pi\epsilon_0 K} \cot\left(\frac{\theta}{2}\right)$$

Para θ = 90°:

$$b = \frac{(2)(79)(1.44 \ \text{eV·nm})}{5.5 \times 10^6 \ \text{eV}} \cot(45^\circ) \approx 4.1 \times 10^{-5} \ \text{nm}$$

Esto es ≈10⁻⁵ del radio atómico.

1. Cuantización del momento angular:

   $$m_e v r = n\hbar \quad \text{con } n=1,2,3,\ldots$$

2. Radio de las órbitas:

   $$r_n = \frac{4\pi\epsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2} n^2 = a_0 n^2$$

   donde:

   $$a_0 = 0.529 \times 10^{-10} \ \text{m}$$

3. Energía cuantizada:

   $$E_n = -\frac{m_e e^4}{8\epsilon_0^2 h^2} \cdot \frac{1}{n^2} = -\frac{13.6}{n^2} \ \text{eV}$$

4. Transiciones:

   $$\Delta E = E_f - E_i = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$$

Radio:

$$r_2 = a_0 \times 2^2 = 4 \times 0.529 \ \text{Å} = 2.116 \ \text{Å}$$

Energía:

$$E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -3.4 \ \text{eV}$$

Velocidad:

$$v_2 = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 \hbar} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\alpha c}{2} \approx 1.09 \times 10^6 \ \text{m/s}$$

donde α ≈ 1/137 es la constante de estructura fina.

Radio: $ r_n = n^2 a_0 $

Energía: $ E_n = -\dfrac{13.6}{n^2} $ eV

Velocidad: $ v_n = \dfrac{v_1}{n} $ con $ v_1 \approx 2.19 \times 10^6 $ m/s

Frecuencia orbital: $ f_n = \dfrac{v_n}{2\pi r_n} $

$$\frac{m_p}{m_e} = 1836.15267343$$

$$\frac{m_n}{m_e} = 1838.68366173$$

$$\frac{m_n}{m_p} = 1.00137841898$$

$${}^A_Z E^{q\pm}$$

donde:

• $A = Z + N$ (número másico)
• $Z$ = número atómico (protones)
• $N$ = número de neutrones
• $q$ = carga iónica

Carbono-14:

$${}^{14}_{6}C \quad \Rightarrow \quad p^+ = 6, \ n^0 = 8, \ e^- = 6$$

Catión hierro(III):

$${}^{56}_{26}Fe^{3+} \quad \Rightarrow \quad p^+ = 26, \ n^0 = 30, \ e^- = 23$$

$$\bar{A} = \frac{\sum_{i} A_i \cdot a_i}{\sum_{i} a_i}$$

o alternativamente:

$$\bar{A} = \frac{\sum_{i} A_i \cdot (\%_i)}{100\%}$$

Datos:

• ${}^{35}\text{Cl}$: $A = 34.9689$ u, abundancia = 75.77%
• ${}^{37}\text{Cl}$: $A = 36.9659$ u, abundancia = 24.23%

Cálculo:

$$\bar{A} = \frac{34.9689 \times 75.77 + 36.9659 \times 24.23}{100}$$

$$\bar{A} = \frac{2649.72 + 895.99}{100} = 35.453 \ \text{u}$$

Relación básica:

$$c = \lambda \nu = 299,792,458 \ \text{m/s}$$

Energía del fotón:

$$E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$$

Número de onda:

$$\tilde{\nu} = \frac{1}{\lambda}$$

Datos útiles:

$$hc = 1240 \ \text{eV·nm}$$

$$\frac{hc}{k_B} = 1.439 \ \text{cm·K} \quad \text{(constante para radiación de cuerpo negro)}$$

$$h\nu = \Phi + K_{\text{máx}}$$

donde:

• $h\nu$ = energía del fotón incidente
• $\Phi$ = función trabajo del material
• $K_{\text{máx}} = \frac{1}{2} m_e v_{\text{máx}}^2$

En términos de frecuencia umbral:

$$K_{\text{máx}} = h(\nu - \nu_0) \quad \text{con } \nu_0 = \frac{\Phi}{h}$$

Enunciado: Luz de λ = 300 nm incide sobre potasio (Φ = 2.3 eV).
Calcular $K_{\text{máx}}$.

Solución:

$$E_{\text{fotón}} = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1240 \ \text{eV·nm}}{300 \ \text{nm}} = 4.133 \ \text{eV}$$

$$K_{\text{máx}} = E_{\text{fotón}} - \Phi = 4.133 - 2.3 = 1.833 \ \text{eV}$$

En julios:

$$K_{\text{máx}} = 1.833 \ \text{eV} \times 1.602 \times 10^{-19} \ \text{J/eV} = 2.937 \times 10^{-19} \ \text{J}$$

$$\frac{1}{\lambda} = R_Z \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$$

donde:

$$R_Z = R_\infty \frac{Z^2}{1 + \frac{m_e}{M}}$$

$$R_\infty = 1.0973731568160 \times 10^7 \ \text{m}^{-1}$$

Serie de Lyman (UV):

$$\frac{1}{\lambda} = R_H \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right), \quad n = 2,3,4,\ldots$$

Serie de Balmer (visible):

$$\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{n^2} \right), \quad n = 3,4,5,\ldots$$

Serie de Paschen (IR):

$$\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{n^2} \right), \quad n = 4,5,6,\ldots$$

Transición: n=3 → n=2 (primera línea Balmer)

$$\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R_H \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right)$$

$$\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \times \frac{5}{36} = 1.524 \times 10^6 \ \text{m}^{-1}$$

$$\lambda = 656.3 \ \text{nm} \quad \text{(color rojo)}$$

Energía del fotón:

$$E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1240}{656.3} = 1.89 \ \text{eV}$$

Desintegración α:

$${}^A_Z X \rightarrow {}^{A-4}_{Z-2} Y + {}^4_2 \alpha$$

Desintegración β⁻:

$${}^A_Z X \rightarrow {}^A_{Z+1} Y + e^- + \bar{\nu}_e$$

Desintegración β⁺:

$${}^A_Z X \rightarrow {}^A_{Z-1} Y + e^+ + \nu_e$$

Captura electrónica:

$${}^A_Z X + e^- \rightarrow {}^A_{Z-1} Y + \nu_e$$

Ecuación diferencial:

$$\frac{dN}{dt} = -\lambda N$$

Solución:

$$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$$

Actividad:

$$A(t) = \left| \frac{dN}{dt} \right| = \lambda N(t) = A_0 e^{-\lambda t}$$

Vida media (τ):

$$\tau = \frac{1}{\lambda}$$

Periodo de semidesintegración (T₁/₂):

$$T_{1/2} = \tau \ln 2 = \frac{\ln 2}{\lambda}$$

Relación con actividad:

$$\frac{N(t)}{N_0} = \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$$

Datos:

$$T_{1/2}(^{14}C) = 5730 \ \text{años}$$

$$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{5730} = 1.21 \times 10^{-4} \ \text{año}^{-1}$$

Si N/N₀ = 0.25:

$$0.25 = e^{-\lambda t} \Rightarrow t = -\frac{\ln 0.25}{\lambda}$$

$$t = \frac{1.386}{1.21 \times 10^{-4}} = 11,460 \ \text{años}$$

Enunciado: Átomo ${}^{65}_{30}Zn^{2+}$. Calcular todas las partículas.

Solución:

$$p^+ = Z = 30$$

$$n^0 = A - Z = 65 - 30 = 35$$

$$e^- = Z - q = 30 - 2 = 28$$

Masa total aproximada:

$$m \approx 30 \times 1.00728 + 35 \times 1.00866 = 65.4579 \ \text{u}$$

Enunciado: Calcular λ y E para transición n=4 → n=2.

Solución:

$$\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R_H \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right)$$

$$\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \times \frac{3}{16} = 2.057 \times 10^6 \ \text{m}^{-1}$$

$$\lambda = 486.1 \ \text{nm} \quad \text{(línea Hβ, azul-verde)}$$

$$E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1240}{486.1} = 2.55 \ \text{eV}$$

Enunciado: Muestra de 1g de ${}^{226}_{88}$Ra (T₁/₂ = 1600 años).
Calcular actividad inicial.

Solución:

$$N_0 = \frac{1 \ \text{g}}{226 \ \text{g/mol}} \times 6.022 \times 10^{23} = 2.66 \times 10^{21} \ \text{átomos}$$

$$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{1600 \times 3.156 \times 10^7 \ \text{s}} = 1.37 \times 10^{-11} \ \text{s}^{-1}$$

$$A_0 = \lambda N_0 = 1.37 \times 10^{-11} \times 2.66 \times 10^{21} = 3.64 \times 10^{10} \ \text{Bq}$$

$$A_0 = 0.984 \ \text{Ci} \quad \text{(1 Ci = 3.7 × 10¹⁰ Bq)}$$

$$1 \ \text{eV} = 1.602 \times 10^{-19} \ \text{J}$$

$$1 \ \text{u} = 1.661 \times 10^{-27} \ \text{kg}$$

$$1 \ \text{Å} = 10^{-10} \ \text{m}$$

$$1 \ \text{nm} = 10^{-9} \ \text{m}$$

$$hc = 1240 \ \text{eV·nm} = 12400 \ \text{eV·Å}$$

La teoría atómica ha evolucionado desde conceptos filosóficos hasta un marco matemático preciso. Las ecuaciones presentadas en este capítulo permiten cuantificar fenómenos atómicos y nucleares con gran exactitud. El dominio de estas herramientas matemáticas es esencial para comprender la química y física modernas.